funciones y sucesiones

FUNCIONES Y SUCESIONES SUCESIONES O PROGRESIONES ARITMÉTICAS Una sucesión es una función cuyo dominio es el conjunto de los números naturales: {1, 2, 3, …}. Una sucesión aritmética es aquélla en la cual la diferencia entre dos términos consecutivos es una constante. La fórmula para el término general de una sucesión aritmética es an + b, en donde a y b son constantes, y n es el número del término deseado. Específicamente, la constante a es la diferencia entre un término y el anterior. Si sumamos n términos de la sucesión con término general an + b obtendremos el valor: Término general de una sucesión aritmética Término de una progresión aritmética es la expresión que nos da cualquiera de sus términos, conocidos alguno de ellos y la diferencia de la progresión. FÓRMULA DEL TÉRMINO GENERAL DE UNA P.A: (d=diferencia) an = a1 + (n − 1)d Si el término inicial de una progresión aritmética es a y la diferencia común es d, entonces el término n-ésimo de la sucesión viene dada por a + nd, n = 0, 1, 2,... si el término inicial se toma como el cero. a + (n − 1)d n = 1, 2, 3,... si el término inicial se toma como el 1º. La primera opción ofrece una fórmula más sencilla, pero emplea una terminología más confusa, ya que no es común en el lenguaje el uso de "cero" como ordinal. Generalizando. Sea la progresión aritmética: a1,a2,a3,...,am,...,an de diferencia d tenemos que a1 = a1 a2 = a1 + d a3 = a2 + d ... an − 1 = an − 2 + d an = an − 1 + d sumando miembro a miembro todas esas igualdades, y simplificando términos semejantes, obtenemos: (I) an = a1 + (n − 1)d expresión del término general de la progresión, conocidos su primer término y la diferencia. Podemos escribir el término general de otra forma. Para ello consideremos los términos am y an (m < am =" a1" an =" a1" an =" am">0: progresión creciente. Cada término es mayor que el anterior. d=0: progresión constante. Todos los términos son iguales. d<0:> Publicado por MATEMATICOS en 10:41 No hay comentarios: SUCESIONES GEOMETRICAS Una progresión geométrica o sucesión geométrica está constituida por una secuencia de elementos en la que cada uno de ellos se obtiene multiplicando el anterior por una constante denominada razón o factor de la progresión. Se suele reservar el término progresión cuando la secuencia tiene una cantidad finita de términos mientras que se usa sucesión cuando hay una cantidad infinita de términos, si bien, esta distinción no es estricta. Así, 5, 15, 45, 135, 405,... es una progresión geométrica con razón igual a 3, porque: 15 = 5 × 3 45 = 15 × 3 135 = 45 × 3 405 = 135 × 3 y así sucesivamente. Ejemplos de progresiones geométricas La progresión 1, 2, 4, 8, 16, 32 es una progresión geométrica cuya razón vale 2, al igual que 5, 10, 20, 40. La razón no necesariamente tiene que ser un número entero. Así, 12, 3, 0.75, 0.1875 es una progresión geométrica con razón 1/4. La razón tampoco tiene porqué ser positiva. De este modo la progresión 3, -6, 12, -24 tiene razón -2. Este tipo de progresiones es un ejemplo de progresión alternante porque los signos alternan entre positivo y negativo. Cuando la razón es igual a 1 se obtiene una progresión constante: 7, 7, 7, 7 Un caso especial es cuando la razón es igual a cero, por ejemplo: 4, 0, 0, 0. Existen ciertas referencias que no consideran este caso como progresión y piden explícitamente que en la definición. Publicado por MATEMATICOS en 10:33 No hay comentarios: lunes, 10 de agosto de 2009 SUCESIONES Una sucesión matemática es una aplicación definida sobre los números naturales. Es costumbre representarla con las letras u, v, w... para designarlas, en vez de f, g, h... que sirven para las funciones. Del mismo modo, la variable se nota usualmente n (por natural) en vez de x, habitual para las variables reales. Por convención, se escribe un (en vez de u(n)), la imagen de n por la sucesión u, o sea el término número n+1 de la sucesión u (el primer término es habitualmente u0). Existen esencialmente dos maneras de definir una sucesión: explícitamente o implícitamente Definición explícita La definición es explícita cuando se da una fórmula que permite hallar un mediante un cálculo único donde no interviene otra variable que n. En otras palabras, un es una función de n: un = f(n). Es el caso representado por el primer gráfico, donde la función es polinomial. Los términos de la sucesión son las ordenadas de los puntos rojos, cuyas abscisas son los enteros naturales. Cuando la función f es definida también en los reales (como en la figura), el estudio de f (límite en + ∞ variaciones, extremos) permite conocer perfectamente u: Si f tiende hacia l (en + ∞) entonces también lo hace u. La recíproca es errónea, como lo muestra la función f(x) = sin(2π•x), que no tiene límite mientras que un = f(n) es siempre nulo y u tiende por lo tanto hacia cero. Si f es creciente en un intervalo [a; b] entonces u lo es para los valores enteros positivos del intervalo (o sea sobre [a; b] ∩ ). Para los extremos, la cosa se complica: si los extremos de f no corresponden a valores enteros de x, entonces se tiene que considerar los naturales más próximos y comparar los un correspondientes. En la figura, f tiene un mínimo relativo en el intervalo ]2; 3[, y como u2 < u3, u2 es un mínimo relativo de u. El máximo relativo de f en ]6; 7[ da dos máximos relativos de u porque u6 = u7. Sin embargo, existen métodos para estudiar u sin estudiar f: el sentido de variación se puede determinar con el signo de un+1 - un (si es positivo, u crece), o comparando la fracción un+1/un con 1 (apropiado cuando u es de signo constante, a ser posible positivo). Estos cálculos pueden ser más sencillos cuando f tiene una función derivada complicada. En algunos casos, la función f que aparece en un = f(n) no puede extenderse a . Es el caso si definimos un como el número de factores propios de n por ejemplo, u otras funciones aritméticas, como la función fi de Euler o la Función de Möbius µ . El estudio clásico de las funciones, mediante la derivación, es entonces imposible. Definición implícita La definición es implícita cuando un no sólo depende de n sino también de otros términos de la sucesión, que se tendrán que calcular antes.Por ejemplo se puede fijar uo = 1 y decidir que para cualquier natural n > 0, un = n•un-1. Para hallar u3 digamos, hay que calcular u2 lo que necesita el conocimiento de u1 el cual se calcula con uo.Obtenemos: u1 = 1×u0 = 1, luego u2 = 2×u1 = 2 y por fin u3 = 3×u2 = 6. Son los factoriales. Otro ejemplo muy conocido es la sucesión de Fibonacci definida por un+2 = un+1 + un.La fórmula que define un término con relación a los anteriores se llama relación de inducción. Cuando el término general un sólo depende del término anterior , un-1, es decir cuando existe f tal que un = f(un-1) o; lo que viene a ser lo mismo un+1 = f(un) (para todo natural n), entonces existe un método gráfico de construirla, muy instructivo (ver imagen): En un sistema de coordenadas se trazan la curva de f y la diagonal (de ecuación y = x). Se empieza por el punto de abscisa del eje horizontal uo y se sube (o baja) verticalmente hasta encontrar la curva de f. Como u1 = f(uo), la ordenada de este punto es u1. Sin embargo para obtener u2 necesitamos tener u1 en las abscisas. Por esto nos desplazamos horizontalmente hasta encontrar la diagonal. En la diagonal, abscisa y ordenada son iguales (por su ecuación y = x), luego bajamos hasta encontrar el eje de las abscisas lo que nos permite leer el valor de u1. A partir de ahí el proceso se repite igual, pues u2 = f(u1) etcétera. En la práctica, basta trazar la escalera entre la curva y la diagonal para evidenciar el comportamiento de la sucesión ( creciente, decreciente u oscilatoria) y su eventual límite denotado l (ele): si es finito, tiene que ser la abscisa de un punto de intersección de la curva de f y de la diagonal porque tiene que verificar l = f(l), relación obtenida tomando el límite de un = f(un-1) ( con f continua). Si se acepta la notación f(+ ∞) para designar el límite en el infinito, entonces la relación anterior se extiende tal cual a los infinitos. Supongamos f continua y derivable en l, límite potencial de la sucesión. Entonces se puede predecir su comportamiento local cerca de l (es decir si un es próximo a l, como evoluciona la sucesión a partir de este término). Este comportamiento, en primera aproximación, sólo depende de f '(l), el valor derivado en l: Publicado por MATEMATICOS en 11:36 No hay comentarios: FUNCIONES POR PARTES O TROZOS Algunas funciones por su estructura difiere su criterio para ciertos valores de la variable independiente (variable “x”), esto hace que en muchos casos se necesite hacer un estudio particular de las mismas. Por estas variaciones en su criterio se les define como funciones por partes o a trozos.