matemática financiera

La Matemática Financiera es el campo de la matemáticas aplicada, que analiza, valora y calcula materias relacionadas con los mercados financieros, y especialmente, el valor del dinero en el tiempo. matemáticas financieras Ante la pregunta: ¿Que preferiría usted, cobrar 1.000 hoy o 1.000 dentro de un mes? La respuesta parece obvia, 1.000 hoy. Pero si la pregunta fuese 1.000 hoy o 1.050 dentro de un mes? La respuesta no lo sería tanto. Dependería de la necesidad de la persona, pero también de cuanto podría ganar durante ese mes. De esta manera, si con 1.000 invertidos durante un mes pudiese obtener más de 50, al cabo de un mes tendría más de 1.050 por lo que preferiría cobrar 1.000 hoy e invertirlos por su cuenta. Si sólo pudiese obtener menos de 50, preferiría 1.050 dentro de un mes. Las matemáticas financieras van más allá y nos proveerán de las herramientas para poder contestar a la pregunta ¿cuanto valen hoy 1.050 que se cobrarán dentro de un mes? Así, las matemáticas financieras se ocuparán del cálculo del valor, tipo de interés o rentabilidad de los distintos productos que existen en los mercados financieros (depósitos, bonos, préstamos, descuento de papel, valoración de acciones, cálculos sobre seguros, etc). Para presentarlas, se seguirá un proceso secuencial desde lo más sencillo, el tipo de interés simple, hasta los cálculos más complejos, que consistirán en el valor actual o futuro de rentas temporales y/o infinitas. Por tanto, en el estudio de las matemáticas financieras, abordaremos: Interés Simple Interés Compuesto Valor Futuro Valor Presente Renta Temporal Constante-Creciente Renta Infinita Préstamos Cuadro de Amortización Sin embargo, pese a que estas herramientas son la base de las matemáticas financieras, el avance en su investigación ha llevado hasta herramientas tremendamente sofisticadas como para la valoración de opciones, las matemáticas actuariales o las más diversas aplicaciones en la estadística y econometría. interés simple Previo a analizar el concepto de interés simple, en primer lugar, debemos tener claro que es el interés en este contexto, que se puede definir como la cantidad (normalmente expresada el porcentaje o tasa) me mide la relación de intercambio entre el valor del dinero en dos momentos determinados de tiempo. interes simple Cuando una persona (prestamista) le presta a otra (prestatario) un dinero hoy, espera que en un futuro el prestatario se lo devuelva, pero que además le de una cantidad adicional en contraprestación, esto es el interés. Que, volvemos a recordar, suele expresarse en porcentaje. Para entender el concepto de interés simple y compuesto, sin duda, la mejor forma es atender a unos ejemplos (ver ejemplo también en interés compuesto). Supongamos un préstamo de 10.000 durante 1 año que genera un interés anual del 5%. No será lo mismo que esos intereses se paguen en dos veces (cada seis meses), frente a que se paguen de una vez al final. En el primer caso, el prestamista recibirá el dinero en dos veces, primero 250 a los seis meses y después 10.250 al final del año. Por su parte, en el segundo caso, el prestamista recibirá todo el dinero a la vez 10.500 al final del año. Pero donde está la diferencia, pues en que en el primer caso el prestamista podrá invertir esos 250 que cobra previamente y obtener una rentabilidad, por lo que, si suponemos que también los puede invertir a un 5% anual durante los seis meses que quedan, obtendría 250*5%/2=6,25. Por tanto, en el primer caso el prestamista obtendría al final del año 10.000+250+250+6,25=10.506,25. Ese 5% del enunciado del ejemplo será lo que se denomina interés simple, mientras que el interés compuesto será, en este caso, el interés equivalente que se obtiene por el hecho de reinvertir los cobros intermedios. Así, podríamos calcular el interés compuesto con una regla de tres:interes simple 10.500 --> 5% 10.506,25 --> X = 5,0625%, ya que el interés simple no es del 5% anual sino del 5% pagadero semestralmente que no es lo mismo. Esta diferencia, que puede parecer pequeña, cuando se considera en operaciones de mucho volumen o mucha duración puede provocar diferencias sustanciales. Fórmula Interés Simple Interés Simple = Cantidad x Tipo de Interés x Plazo Interés Simple.- Como el importe que se percibirá o pagará en contraprestación Cantidad.- Como el importe sobre el que se pagará o cobrará intereses Tipo de interés.- Como la tasa o porcentaje que se cobrará o pagará si la operación durase un año Plazo.- Como la duración de la operación, expresado en cantidad de años Como estándar, en las operaciones financieras, cuando una operación dura menos de un año, se sigue como método de cálculo el interés simple, mientras que cuando una operación tiene una duración superior a un año, se utilizará el interés compuesto. interés compuesto Al contrario que el interés simple, el interés compuesto se produce cuando el interés se suma al capital, por lo que, a partir de ese momento, el interés que se ha añadido también gana intereses. Esta adición de interés al principal de la operación financiera se llama compuesto. Al igual que con el interés simple, donde ya pusimos un primer ejemplo. Consideramos que la mejor manera de interes compuestoentender la necesidad y funcionamiento del interés compuesto es mediante un ejemplo. Imaginemos que nos ofrecen la opción de invertir 10.000 en dos depósitos a 3 años. El primer depósito para un 10% te tipo de interés al año y paga esos intereses al final de cada año. Por su parte, el segundo depósito pagará un 10% anual de tipo de interés, pero en lugar de pagar los intereses al final de cada año, los pagará todos al final de los tres años. Si ambos depósitos pagan el mismo tipo de interés, parecería lógico pensar que la ganancia al final debería ser la misma, pero, ¿es realmente así?. Analicemos cada caso. 1- Si cobraremos 1.000 al final de cada año, los intereses del primer año serán 1.000, pero y los del segundo. El segundo año volveremos a cobrar 1.000 provenientes del depósito de 10.000, pero también podremos cobrar intereses de los 1.000 de intereses que ya tenemos en nuestro poder. Si esta cantidad la invertimos también al 10% obtendríamos 100 adicionales por lo que los intereses del segundo año serían 1.100 y no 1.000. Lo mismo sucedería en el tercer año, por un lago cobraríamos los 1.000 del depósito, pero aún nos faltaría por contabilizar los intereses por invertir los intereses de los dos años anteriores que, recordemos, ascendía a 2.100. Así, el 10% de 2.100 serían 210 adicionales. Por tanto, al cabo de los tres años tendríamos 10.000+1.000+1.000+100+1.000+210=13.310. 2- En el caso del segundo depósito, los intereses se pagaban todos al final. Si utilizásemos la formulación del interés simple, la cantidad de intereses sería: 10.000 x 10% x 3 = 3.000 por lo que al final tendríamos 13.000 que es menos que en el caso 1. Para resolver esta diferencia, en aquellas operaciones que generan intereses con una duración superior a un año (como ya mencionamos e el interés simple), el cálculo de intereses utiliza la formulación del interés compuesto que tiene en consideración los intereses que generan los pagos intermedios. Interés=10.000*(1+10%)3=3.310, que sumados al principal darán los mismos 13.310 que en el caso 1. Fórmula Interés Compuesto Interés = Cantidad x (1 + Tipo de Interés) Plazo -1 Interés.- Como el importe que se percibirá o pagará en contraprestación Cantidad.- Como el importe sobre el que se pagará o cobrará intereses Tipo de interés.- Como la tasa o porcentaje que se cobrará o pagará si la operación durase un año Plazo.- Como la duración de la operación, expresado en cantidad de años Sin embargo, la utilización del interés compuesto, y su fórmula, no se queda sólo aquí, sino que es la que se utilizará para calcular el valor presente y el valor futuro, las rentas temporales y las rentas infinitas, así como para el cálculo de Valor Presente Neto y la TIR ya que es el que nos permitirá comparar cantidades con distintas formas y plazos de cobro. El interés compuesto, es, por tanto, la base para poder calcular la rentabilidad comparable de distintos productos y proyectos de inversión a través del descuento de descuento de flujos de caja, herramienta básica de las finanzas. valor futuro Poseer un dólar o un euro hoy no vale lo mismo que poseerlo dentro de un año. Si dispusiera ahora mismo de él, podría invertirlo, ganar un interés y transcurrido un año usted tendría algo más que un euro. valor futuro Pero, porque se utiliza el interés compuesto y no el interés simple. Como ya vimos en la explicación del interés compuesto, este tiene en consideración los intereses que generarán los propios intereses intermedios. Esta consideración, es imprescindible para poder diferenciar operaciones con pagos intermedios frente a operaciones que no los tienen. Al calcular el valor futuro de una cantidad, no se producirán pagos intermedios anuales, por lo que deberemos utilizar el interés compuesto. valor futuro Una sencilla forma de entender porque utilizar uno u otro, es calcular el valor futuro de una misma cantidad utilizando ambos intereses. El valor futuro utilizando el interés simple crecerá linealmente, mientras que el valor futuro calculado utilizando el interés compuesto lo hará de forma creciente y exponencial ya que, la no recepción de pagos intermedios hará que los intereses se calculen, cada año, sobre una cantidad mayor. Fórmula del Valor Futuro VFn = VA x (1+k)n VF.- Valor futuro VA.- Valor presente o actual k.- Tipo de interés n.- plazo, normalmente expresado en años. valor presente Igual que en el apartado anterior obtuvimos el valor futuro de una cantidad presente, a través de calcular cuanto podríamos obtener de ella si la invertíamos hasta una fecha determinada, también podemos obtener el valor presente de una cantidad que esperamos recibir en algún momento del futuro. valor presenteEl cálculo sería a la inversa, si antes añadíamos a la cantidad los intereses generados, en este caso se los descontaremos/quitaremos. Por ejemplo, si vamos a recibir 1.000 dentro de tres años y queremos saber cuanto valen hoy, deberemos descontar los intereses que se generarán desde hoy hasta dentro de tres años. Si el tipo de interés es del 4% anual en operaciones a 3 años, responderemos a la pregunta ¿Qué cantidad debo invertir hoy para tener 1.000 dentro de tres años? En este caso 889, por lo que, si no necesitásemos, podríamos recibir esta cantidad en lugar de los 1.000 dentro de 3 años. Al contrario que en el valor futuro, en este caso a incógnita no el valor futuro VF sino el actual o presente VA. Fórmula valor presente VA = VFn / (1+k)n VF.- Valor futuro VA.- Valor presente o actual k.- Tipo de interés n.- plazo, normalmente expresado en años. Si comparamos con la fórmula del valor futuro, únicamente estamos despejando el valor presente, no siendo una nueva fórmula como tal. renta temporal El siguiente paso en la matemáticas financieras, es calcular el valor de una renta. Con objeto de su estudio, distinguiremos dos tres casos por orden de complejidad de sus cálculos, de más complejo a menos complejo: Renta temporal en que las candidades o flujos NO tienen una relación de proporcionalidad (la renta de cada periodo es distinta al anterior y no siguen ningún patrón). Habituales en los flujos esperados del beneficio de una empresa,... Rentas temporales en que las cantidades o flujos SI tienen una relación de proporcionalidad (la renta de cada periodo es igual al anterior o sigue un patrón de crecimiento o decrecimiento). Habituales en los flujos esperados de deuda pública, bonos, depósitos, ... Rentas infinitas en que las cantidades o flujos SI tienen una relación de proporcionalidad (la renta de cada periodo es igual al anterior o sigue un patrón de crecimiento o decrecimiento). Habituales para la valoración inversiones sin vencimiento como acciones, rentas vitalícias, pensiones,... El primer caso, el más genérico, corresponde, como ya hemos avanzado, a una renta de una duración determinada, en que las cantidades percibidas son distintas y sin relación entre ellas. Estas, nos permitirán explicar el concepto y posteriormente relacionarlas con los casos 2 y 3 que son casos específicos de este. Antes de comenzar a analizar cada caso, si debemos precisar que, en estos casos, siempre utilizaremos el interés compuesto. También, debemos señalar que es especialmente importante para evitar errores, y antes de comenzar ningún cálculo, hacer la representación gráfica de los flujos, que consistirá en hacer una linea en la que indicaremos en que momento temporal se percibe cada cantidad. Esta herramienta nos permitirá asegurarnos cuantos periodos debemos descontar cada una de las cantidades. renta temporal periodicaSiguiendo la imagen de la derecha, imaginemos una renta de las cantidades Q1, Q2, Q3,... que se cobran al final de cada periodo, 1, 2, 3,... El valor presente de esa renta temporal, consistirá simplemente en calcular el valor presente de cada una de las cantidades que componen la renta, tal y como representa la fórmula. A partir de este sencillo ejemplo, podremos construir casos más complejos donde las cantidades tampoco sigan un patrón temporal, renta temporal no periodicasino que se cobren en distintos momentos del tiempo, pero la base seguirá siendo la misma; el valor presente de las cantidades que componen la renta. Un ejemplo sería esta segunda imagen, donde los flujos no se producen al final de cada periodo, sino que se producen, Q1 a la mitad del primer periodo, Q2 entre el 2º y el 3º y Q3 al final del 3º. Además, se podría seguir complicando, considerando que el tipo de interés anual es distinto para cada cantidad, ya que no es lo mismo una operación aun año que a tres años (si por un depósito a 1 año pedimos un 5% anual, para un depósito a 3 años normalmente pediremos más de un 5% anual). Como vemos, la parte más importante para el cálculo del valor de una renta, es comprender el momento temporal en que cada cantidad se produce, que es la base para conocer por cuanto tiempo deberemos retraerlo hasta el momento presente. Fórmula renta temporal Teniendo en cuenta el caso más genérico, podría expresarse como sigue: donde VA.- Valor actual o presente de la renta considerada Q1, Q2, Q3,... serían las cantidades que componen la renta n1, n2, n3,... serían el momento temporal en que se recibe cada cantidad de la renta k1, k2, k3,... serían los tipos de interés para cada periodo Además de los casos expuestos, donde hemos calculado el valor actual o presente, puede ser necesario el cálculo del valor futuro, como sería el caso del valor futuro de un plan de ahorro, por ejemplo, al que aportamos una cantidad mensual, trimestral o anual, que nos permitirá conocer que cantidad tendremos al final/vencimiento del producto. En este caso, en lugar de dividir cada flujo por el interés compuesto hasta el momento presente, únicamente deberemos multiplicar por ese interés compuesto hasta el momento futuro que deseemos. A continuación trataremos las rentas temporales para el caso concreto en que estas sean constantes o con algún tipo de proporcionalidad entre ellas. Ejercicios de renta temporal aplicada a préstamos Renta temporal constante y creciente Las rentas temporales, constantes o crecientes/decrecientes, son un caso particular de las rentas temporales, que, por la existencia de una proporcionalidad entre las rentas en cantidad y periodo de cobro, y en el caso de que el tipo de interés sea igual para todos los períodos, permite resolver su calculo de una forma sustancialmente más rápida y simple.renta temporal constante En el caso más simple, cuando todas las cantidades son iguales, y como se aprecia en la figura de la derecha, el valor actual de esa renta puede resolverse sin necesidad de calcular el valor actual de cada cantidad, sino que simplemente multiplicando la cantidad de la renta por un coeficiente se conseguiría el mismo resultado. renta temporal crecienteEn el caso de que las cantidades varíen en una proporción g (g expresado como un porcentaje de crecimiento o decrecimiento), nos encontraríamos en el caso de esta segunda imagen, donde también podríamos resolver los cálculos de una forma más sencilla como se muestra en la imagen. Por último, es importante indicar que, no siempre las rentas se producen al final de cada periodo, sino que estas pueden producirse al principio de cada uno. En este caso, el valor actual/presente calculado con las fórmulas anteriores sería el valor calculado en el momento 1, no en el momento 0, por lo que únicamente deberíamos multiplicar el valor actual, así calculado, por (1+k) para anticipar un periodo toda la cantidad. renta infinita Este, es el último caso particular de rentas que analizaremos, y consiste en una renta que cobraremos por duración infinita (un buen ejemplo serían las pensiones de jubilación, pero también productos comercializados por las aseguradoras aunque menos conocidos). En este caso, también distinguiremos entre renta constante y creciente (por ejemplo rentas actualizadas con la inflación). renta infinita constantePara el caso de las rentas constantes nos encontraríamos en la figura de la derecha. Al ser infinitos periodos, y sustituyendo en la misma fórmula que utilizamos para las rentas temporales constantes, tendríamos que (1+k)∞ =0 lo que nos daría la expresión final. renta infinita crecienteEn el segundo caso, en el que las rentas crecen siguiendo una proporción g, sucedería algo similar, desapareciendo la mayor parte del numerador, tal y como se puede apreciar en la figura de la derecha. Por último, señalar también que, al igual que en las rentas temporales, no siempre las rentas se producen al final de cada periodo, sino que estas pueden producirse al principio de cada uno. En este caso, el valor actual/presente calculado con las fórmulas anteriores sería el valor calculado en el momento 1, no en el momento 0, por lo que únicamente deberíamos multiplicar el valor actual, así calculado, por (1+k) para anticipar un periodo toda la cantidad. Ejercicios de renta infinita aplicada a acciones Matemáticas de las Operaciones de Préstamo Las matemáticas financieras, en lo concerniente a los préstamos, se ocupan de cuantificar los distintos sistema de devolución existentes. Más concretamente, en la práctica, haymultitud de métodos de amortizar financieramente un préstamo, pero aquí haremos mención a los tres más conocidos. El método francés o de anualidad constante. Similar al valor actual de una renta, donde el importe de la renta es la anualidad del préstamo El método de la cuota de amortización constante (alemán). Cada año se amortiza la misma cantidad de principal El método americano. A lo largo de la vida del préstamo sólo se pagan los intereses, amortizándose el principal al vencimiento. A continuación veremos como se amortiza/devuelve un préstamo a través de lo que, se conoce como, cuadro de amortización de un préstamo. Amortización de Préstamos El cuadro de amortización de un préstamo es la representación, en una tabla, de los distintos flujos financieros que lo componen: Principal, cuotas, y la descomposición de estas en la cantidad que supone devolución de principal y la parte que supone intereses. amortizacion de prestamosSistema Amortización Préstamo Francés A la derecha, encontramos la tabla que representa la devolución d un préstamo con cuota constante (la cantidad que devolvemos periódicamente es siempre la misma) y que en el argot financiero se denomina sistema de amortización francés. Como se puede apreciar, la Cuota es siempre la misma cantidad y para su cálculo se sigue la fórmula del valor actual de una renta temporal constante que se recoge en la parte superior izquierda. Así, VA sería el importe del préstamo, que en nuestro caso serían 810.000, Q sería la cuota (nuestra incógnita), k sería el tipo de interés que, en nuestro ejemplo es del 5% y n, el número de periodos, sería 10. Por tanto, sustituyendo en la fórmula obtendríamos que la cuota a pagar cada periodo del préstamo es de 104.898,71. Una vez hemos resuelto nuestros cálculos, debemos elaborar la tabla que haríamos como sigue: En primer lugar, incluiremos todos aquellos datos que conocemos. El capital del préstamo que son 810.000 en el momento 0 (momento en el que pedimos el préstamo y antes de haber devuelto nada) y que incluiremos en la casilla D0. Además, también conocemos la cuota de cada uno de los periodos del 1 al 10 que es de 104.898,71, cantidad que incluiremos en las casillas desde la C1 hasta la C10. A partir de ahí, calcularemos el resto de casillas. ¿Cómo calcularemos los intereses?. Pues sencillamente, si la cantidad pendiente de devolver antes del periodo 1 (la del periodo 0) era de 810.000€ simplemente deberemos calcular el 5% de esa cantidad 40.500,00. Esta cantidad de 40.500,00 será los intereses del momento 1 que incluiremos en la casilla A1. Como la cuota del préstamo es del 104.898,71, el importe restante 64.398,71 irá dirigido a devolver el capital del préstamo, que se conoce con el término amortización del préstamo, e incluiremos en la casilla C1. Una vez que sabemos el capital que debíamos antes del pago de la cuota 810.000 y la cantidad de cuota que destinamos a devolver el principal 64.398,71, podremos calcular cuanto nos queda por pagar de capital pendiente que será la resta de ambas cantidades (D0-C1), esto es 745.601,29. Sucesivamente seguiremos estos mismos pasos hasta llegar al momento 10 en el que, si los cálculos son correctos, el capital pendiente debe ser 0, ya que, con el pago de la última cuota, habremos devuelto la totalidad del préstamo. Sistema Amortización Préstamo Alemán En este caso, el sistema de amortización alemán o de amortización constante, en el que lo que es constante es la devolución del capital, los datos conocidos del cuadro de amortización serían tanto el capital inicial, como la Amortización de los 10 periodos que, al ser constante, sería de 81.000, y que incluiríamos en las casilla C1-C10. A partir de estos datos se calcularía el resto, teniendo en cuenta que la cuota B sería la suma de intereses + amortización (B1=A1+C1). Sistema Amortización Préstamo Americano Por último, en el sistema de de amortización americano, no se producen devoluciones de principal hasta el vencimiento por que lo la columna C sería toda 0 menos el periodo 10 en el que se devolvería la totalidad 810.000. Esto implicaría también que los intereses serían siempre los mismo 40.500 para los 10 periodos y las cuotas de los 9 primeros periodos también, hasta el décimo en el que se pagarían tanto el capital como los intereses de ese periodo 850.500.